Fermat




Fermats großer Satz Alfred Adler (Mathematiker): „Das mathematische Leben eines Mathematikers ist kurz. Seine Arbeiten werden nach dem fünfundzwanzigsten oder dreißigsten Lebensjahr selten besser. Wenn er bis dahin nichts geleistet hat, wird er auch künftig wenig leisten.“ (1, S. 26/27). 1 Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über die anderen beiden Seiten. Beispiel: 3² + 4² = 5². Praktische Anwendungen bei Handwerkern, um Rechtwinkligkeit nachzuprüfen. x² + y² = z². Pythagoras von Samos ist eine einflussreiche und geheimnisumwitterte Gestalt in der Geschichte ohne Zeugnisse aus erster Hand (6. Jh. v. Ch., um 580 – 496, Schüler von Thales). Begründer der Zahlentheorie und des ersten goldenen Zeitalters der Mathematik. Reisen durch die gesamte antike Welt (bis nach Indien und Britannien?). Lernt von Ägyptern und Babyloniern (Rezepte für Berechnungen). Gründet Schule für Philosophie zur Befassung mit den Regeln auf Samos (in einer Höhle wegen dem Tyrannen Polycrates). Zahlt anfangs seinem ersten Schüler (heißt auch Pythagoras: Athleten sollen Fleisch essen) für Lektionen. Geht nach Kroton (Süditalien). Mäzen Milon (Athlet, 12 Siege bei Olympischen und Pythischen Spielen). Pythagoreischer (Geheim-)Bund (egalitäre Schule, auch Frauen). Heiratet junge Tochter von Milon (Theano). Prägt Wort Philosoph (1, S. 34). Selbst nach Pythagoras Tod wurde Mitglied ertränkt wegen Geheimnisverrat (Dodekaeder aus 12 regelmäßigen Fünfecken). Angebetete Gottheit war die Zahl. „Verstünde man die Beziehung zwischen den Zahlen, könnte man die geistigen Geheimnisse des Universums aufdecken und den Göttern näher kommen.“ (1, S. 34). Nur herausragende Köpfe werden in Gemeinschaft aufgenommen. Ein gewisser Kylon wurde z.B. abgelehnt. Nach einem gewonnenen Verteidigungskrieg von Milon (100 000 Bürger) gegen Telys (Revoluzzer während 76. Olympiade, 510 v. Chr., aus Sybaris, 300 000 Mann) hetzt Kylon Mob auf. Dies führt zu Mordbrennen, Pythagoras und viele Schüler sterben in den Flammen) (1, S. 50). Jünger Pythagoras wurden verfolgt, zerstreuten sich in der ganzen Welt und bauten neue Schulen auf. Natürliche ganze rationale Zahlen. Vollkommene Zahlen (Summe der Teiler einer Zahl = Zahl, z.B. 6 (Erschaffung aller Dinge in 6 Tagen), 28 (Mond um Erde) - Augustinus). Zusammenhang zwischen musikalischer Harmonie und Harmonie der Zahlen (Zahlenverhältnisse) (1, S. 38). „Alles ist Zahl.“ (meint damit ganze Zahlen und Brüche). Legende: Sein Schüler Hippasus beweist: Wurzel 2 ist kein Bruch sondern „irrational“. Verurteilung zum Tod durch Ertränken. Widerspruchsbeweis später durch Euklid (1, S. 74, S. 344). Naturbeweis: Wahr, wenn genügend Belege vorhanden sind (vgl. Popper). Math. Beweis: Logische Schlüsse auf Basis von Axiomen (Annahmen). Pythagoras entwickelte Idee des Beweises zur Reife. Suche nach Wahrheit via Beweis. Satz des Pythagoras bereits alten Chinesen bekannt (2, Buch IX) (ohne allgemeinen Beweis), auch Babyloniern (9). Beweis des Satzes von Pythagoras für jedes rechtwinklige Dreiecks wurde so wundersam empfunden, dass 100 Ochsen den Göttern zum Dank geopfert wurden (1, S. 49; 8, S. 194). 2 Euklid (365 – 300) Die Anzahl pythagoräischer Tripel (ganzzahlige Lösungen des Satzes von Pythagoras) ist unendlich (1, . 347). Anekdote: Student fragt, was ihm Mathematik nütze. Nach Vorlesung gibt ihm Euklid eine Münze und schließt ihn aus, da er aus allem Nutzen schlagen möchte (1, S. 70). 3 Diophantos von Alexandria (um 250 n. Chr.) Letzter großer Vertreter der griechischen Mathematiktradition. Lehrbuch für die Zahlentheorie Arithmetica, 13 Bücher). Einziges Detail seines Lebens ist ein Rätsel über sein Alter (84 Jahre) (1, S. 76, S. 346; 5, S. 13 - 16). 7 Bücher verschollen (Bibliothek von Alexandria: 1. Brand 47 v. Chr. durch Römer, 2. schlimmerer Brand 389 durch Christen, 3. Vernichtung 642 durch Moslems). 1453 Plünderung von Konstantinopel durch Türken à Flucht byzantinischer Gelehrter mit Rest Büchern nach Westen (auch Teile der Arithmetica). Bei diophantischen Gleichungen sucht man Auflösungen in ganzen Zahlen. 4 Pierre (de) Fermat (17.8.1601 – 12.1.1665) Geb. in Beaumont de Lomage bei Toulouse, Frankreich, (Taufe am 20.8.1601). Vater wohlhabender Lederhändler und zweiter Konsul der Stadt. Zwei Schwestern, ein Bruder. Unterricht im örtlichen Franziskanerorden. Besucht die Universität in Toulouse, geht 1620 nach Bordeaux, wo er erste mathematische Nachforschungen betreibt. Studiert in Orléans Jura. Auszeichnung in Zivilrecht. Kauft sich 1631 die Stelle eines Stadtrates beim Parlament von Toulouse. Wird aufgrund der Position eines Anwalts und Beamten der Regierung von Toulouse geadelt („de“). 1652 Beförderung auf die höchste Ebene des Strafgerichts. Weitere Beförderungen („kometenhafte Karriere“). 1653 an Pest erkrankt und fälschlich vorübergehend für tot gesagt. Er beherrschte Latein, Italienisch und Spanisch und schrieb „elegante Verse“ auch in diesen Sprachen. Konnte Griechisch so gut, dass er viele wissenschaftliche Übersetzungen (auch die des Diophant) berichtigte und als einer der besten Kenner der hellenischen Kultur hätte berühmt werden können. Er war verheiratet und hatte fünf Kinder. (5, S. 62). Er verstarb 1665 völlig unerwartet in Castres (3 Tage nach seinem letzten arrêt). „Fermat war unbestreitbar der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit. Er schuf allgemeinste neue Methoden ... der Infinitesimalrechnung (Analysis des unendlich Kleinen; Newton zufolge gründet seine Differentialrechnung auf Monsieur Fermats Verfahren, Tangenten zu zeichnen (1, S. 68)), war neben Descartes Schöpfer der analytischen Geometrie, zusammen mit Pascal begründete er die Wahrscheinlichkeitsrechnung.... Er befasste sich mit Optik ... (als Fermatsches Prinzip bekanntes Minimumprinzip eines Lichtstrahles). Das Lieblingsgebiet Fermats war aber die Zahlentheorie. Hier hatte er nichts seinesgleichen. ...“ (5, S. 63). Fermat steht in meist brieflichem Kontakt mit anderen Mathematikern wie Mersenne (Paulanerpater), Descartes (Fermat ist ein Aufschneider, weil er seine Beweise nicht veröffentlicht), John Wallis („dieser verdammte Franzose“ über Fermat), Pascal. Mehr als hundert Briefe sind erhalten. Veröffentlichung nach seinem Tod durch seinen ältesten Sohn (Diophanti Alexandrini ... mit 48 Bemerkungen Fermats) (1, S. 90). 5 Fermats großer Satz xⁿ + yⁿ = zⁿ, xyz¹0,hat keine natürlichen Zahlen x,y,z als Lösung für n ³3. Fermats Notiz 1637 in einer Neuausgabe von Diophantos‘ Arithmetica, 1621 übersetzt von Bachet (lateinisch): Es ist nicht möglich, einen Kubus in zwei Kuben oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein eine Potenz, höher als die zweite, in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen. Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet. Bereits um 970 hat der arabische Astronom und Mathematiker Abu Muhammed Alchodschandi einen – wenn auch nicht ausreichenden – Versuch gemacht, einen Beweis für die Unlösbarkeit der Gleichung für n = 3 zu geben. Auch beim persischen Mathematiker Beha Eddin (1547 – 1622) kehrt die Angabe über die Unlösbarkeit wieder (4, Teil 2, S. 109). Fermat stellt Beweis für n = 4 mit der „Methode der unendlichen oder unbegrenzten Abnahme“ (Deszendenzmethode) in einem Brief vor (5, S. 64). 5.1 Teilergebnisse Untersuchung für n als Primzahl ausreichend. Aber es gibt unendlich viele Primzahlen. 5.2 Leonhard Euler (1707 – 1783) Als Sohn eines calvinistischen Pastors in Basel geboren, sattelte er dank Einfluss der Familie Bernoulli vom mittelmäßigen Theologen auf begnadeten Mathematiker um. Äußerst genaue Vorhersage der Mondphasen. Königsberger Brückenproblem (1, S. 103). Euler erblindet und bleibt produktiv wie zuvor. Stirbt 1783 an Schlaganfall („Euler hörte auf zu leben und zu rechnen“) (1, S. 116). Euler beweist Satz für n = 3 (nutzt imaginäre Zahl) und – wie Fermat – für n = 4 (beide mit Methode des unendlichen Abstiegs). 5.3 Monsieur Le Blanc oder Sophie Germain (1776 - 1831) Studiert als Antoine-August le Blanc Mathematik. Lagrange wird aufmerksam auf sie und wird ihr Mentor. Korrespondiert mit Gauß. Legt Basis für n=5. Gabriel Lamé beweist (entsprechend ihrem Vorgehen) n=7. 5.4 Preisausschreiben der französischen Akademie der Wissenschaften Goldmedaille und 3000 Franc für Beweis ausgesetzt (verlängert bis 1856). 1. März 1847: Gabriel Lamé kündigt vollständigen Beweis auf Sitzung der Akademie an. Augustin Louis Cauchy („selbstgerechter Mensch, auf bigotte Weise religiös und unbeliebt“, 1, S. 139) will auch Beweis veröffentlichen. Beide geben versiegelte Umschläge ab und veröffentlichen vage Einzelheiten (eindeutige Primzahlzerlegung, imaginäre Zahlen). Ernst Eduard Kummer (1810 – 1893) zeigt, dass eindeutige Primzahlzerlegung bei Nutzung imaginärer Zahlen nicht immer gilt (irreguläre Primzahlen) und daher die Beweisversuche der beiden gescheitert sind. Kummers Arbeiten zufolge gilt der Satz z.B. für alle Primzahlen n mit n < 100 (4, S. 122). 5.5 Évariste Galois (25.10.1811 – 30.5.1832) Mit 16 erstmals Mathematikunterricht (beschäftigt sich nur noch damit). Aufbrausend und ungeduldig. Hochbegabt. Fällt zweimal durch Prüfung zum Eintritt in École Polytechnique (verweigert „zu einfache“ Erläuterungen seiner Lösungen. Schmeißt Schwamm Prüfer an den Kopf). Liberaler, gebildeter Vater war Bürgermeister von seinem Geburtsort Bourg-la-Reine (Nähe Paris). Intriganter jesuitischer Priester trieb wegen dessen republikanischer Einstellung durch gefälschte anstößige Verse (unterzeichnet mit Namen des Bürgermeisters) diesen in den Selbstmord. Galois reicht Arbeit zu Gleichungen fünften Grades ein und beeindruckt Cauchy. Übergibt Arbeit an Fourier, der vor Einsendeschluss stirbt. Galois‘ Arbeit ist nicht aufgetaucht, daher kein Preis. Er vermutet politische Intrige wegen seiner republikanischen Einstellung. Kämpft für Republikaner und wird verfolgt und eingesperrt. Er wird zum Trinker. Liebesaffäre mit verlobter Frau (Verlobter war einer der besten Schützen). Aufforderung zum Duell. Da er weiß, dass er sterben wird („ich sterbe als Opfer einer niederträchtigen Kokotte“), arbeitet er die ganze Nacht vor dem Duell seine mathematischen Sätze aus („Mir fehlt die Zeit, mir fehlt die Zeit“) in einem Brief an seinen Freund Auguste Chevalier zur Weitergabe an Jacobi oder Gauß. Im Duell (er hat keine Begleiter) wird er in den Magen getroffen und von seinem Gegner liegengelassen, ein paar Stunden später gefunden und ins Hospital gebracht, wo er am nächsten Tag an einer Bauchfellentzündung stirbt. Vermutungen, dass das Duell eine politische Intrige war (8, S. 117). Erst Liouvilles bringt die Arbeit von Galois zur Anerkennung durch überarbeitete Veröffentlichung. (1, S. 244 – 260). Kernstück war die sogenannte Gruppentheorie und Gleichungen fünften und höheren Grades. In der Galoisschen Theorie wird jeder Gleichung eine Gruppe zugeordnet; ihre Struktur gibt Aufschluss darüber, ob eine Gleichung durch Radikale („Wurzeln“) auflösbar ist (8, S. 117). 6 Eulersche Vermutung Extrapolation durch Computer ohne Beweis gefährlich: 31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331, 33 333 331, 333 333 331 sind prim, nicht 3 333 333 331. (1, S. 192). Eulersche Vermutung: es gibt keine natürliche Zahlen als Lösung für x⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴ 1988 Gegenbeispiel durch Naom Elkies: 2 682 440⁴ + 15 365 639⁴ + 18 796 760⁴ = 20 615 673^4. (1, S. 193). 7 Gödels Unvollständigkeitssätze Kurt Gödel, geb. 28.4.1906 Brno, Mähren, gest.14.1.1978 Princeton. Gödel beschäftigte sich mit grundlegenden Problemen der mathematischen Logik und Mengenlehre, insbesondere mit Fragen der Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit einer Theorie. Er zeigte 1933, dass mittels finiter Prozesse im Hilbertschen Sinne die Widerspruchsfreiheit einer beliebigen Theorie, die die formalisierte Arithmetik enthält, nicht bewiesen werden kann. Nach der faschistischen Annexion Österreichs musste er 1938 in die USA emigrieren. Ab 1950 arbeitete er als Professor in Princeton. Schon von früher Kindheit an litt er unter schweren Krankheiten (z.B. rheumatisches Fieber mit 6 Jahren). Allerdings entwickelte er eine zwanghafte Hypochondrie, die er sein Leben lang nicht mehr los wurde. Unter anderem glaubte er ein schwaches Herz zu haben (nach der Lektüre eines medizinischen Lehrbuches), was die Ärzte nicht bestätigen konnten, und war der Meinung, gegen Ende seines Lebens, vergiftet zu werden. Daraufhin weigerte er sich zu essen und hungerte sich fast zu Tode. André Weil (Zahlentheoretiker): Gott existiert, weil die Mathematik konsistent ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können (1, S. 175). 8 Wolfskehlpreis Paul Wolfskehl, studierter Mathematiker und reicher Industrieller, wollte sich wegen einer Frau das Leben nehmen, legte Tag und Stunde (Mitternacht) des Selbstmordes fest und regelte alle anstehenden Geschäfte sowie sein Testament. Da er noch etwas Zeit hatte, vertiefte er sich in Kummers Arbeiten, fand eine Lücke und verpasste den selbstgesetzten Termin. Er verzichtete auf den Selbstmord und änderte sein Testament. Er setzte darin nach seinem Tode ein Preisgeld in Höhe von 100 000 Reichsmark (entspräche heute etwa 2,5 Millionen DM) für den Beweis des Fermat-Problems aus. Testamentseröffnung 1908. Preisauslobung, -prüfung, -verwaltung durch Göttinger Königliche Gesellschaft (1, S. 151; 4, S. 240). Lawine von (falschen) Lösungsvorschlägen. Prof. Edmund Landau nutzt Antwortvordruck (1, S. 159). Im ersten Jahr 621 „Lösungen“, heute etwa 3 Regalmeter. Wertverfall wegen Inflation (1, S. 160). Heute etwa 70 000 DM. Der Preis war zeitlich limitiert bis 13.9.2007. 9 Andrew Wiles (* 11.4.1953 in Cambridge) Andrew Wiles stieß mit 10 Jahren auf das Fermatsche Problem (Stadtbücherei, „The Last Problem“ von Eric Temple Bell). Der Satz „sah so einfach aus, und doch konnten all die großen Mathematiker der Geschichte ihn nicht beweisen. Da war ein Problem, das ich als zehnjähriger schon verstehen konnte, und von diesem Moment an wusste ich, dass ich nie davon ablassen würde. Ich musste es einfach lösen.“ Wiles ist verheiratet und hat mehrere Kinder. Ausbildung Merton College, Oxford (B.A., 1974), Clare College, Cambridge (Ph.D., 1980). 1982 à Princeton (N.J.) University (Encyclopedia Britannica). 10 Der Beweis Wiles befasst sich mit elliptischen Kurven. Suche nach ganzzahligen Lösungen in der „Uhrenarithmetik“ (modulo, Restklassen). L-Reihe gibt für jeden Wert zu einer Gleichung an, wie viele Lösungen es zu der jeweiligen Restklasse gibt. 10.1 Taniyama-Shimura-(Weil-)Vermutung Taniyama (1927 - 1958) und Shimura (1928) sind vom Typ her gegensätzliche japanische Mathematiker (nachlässig – ordnungsliebend), die zusammen ab 1954 über Modulformen (kommen im hyperbolischen, vierdimensionalen Raum vor, unbegrenzte Symmetrie) forschten. Zur Beschreibung gibt es eine sogenannte M-Reihe. Vermutung: Zusammenhang zwischen Elliptischen Kurven und Modulformen (jede elliptische Kurve hat eine zugehörige Modulform); M-Reihe und L-Reihe stimmen überein (obwohl eigentlich höchst unterschiedliche Bereiche). Taniyama nahm sich 1958 das Leben (1, S. 220). Sätze werden seitdem von vielen Mathematikern aufgestellt unter der Bedingung, dass die (noch unbewiesene) Vermutung richtig sei (mit dem Risiko, dass die Sätze nicht bewiesen sind, solange die Vermutung nicht bewiesen ist!). 10.2 Gerhard Frey Gerhard Frey (Saarbrücker Mathematiker) formte 1984 die Fermatsche Gleichung (unter der Voraussetzung, dass es doch eine Lösung gäbe) in eine elliptische Kurve um. Dazu gäbe es keine Modulform, also wäre die Taniyama-Shimura-(Weil-)Vermutung falsch. Einen Fehler in der Freyschen Beweisführung konnte Ken Ribet 1986 lösen. 10.3 Andrew Wiles Ansätze Zum Beweis des Fermatschen Satzes musste Wiles „nur“ noch die Taniyama-Shimura-(Weil-)Vermutung lösen. Dies nahm er sich gleich 1986 vor. Er arbeitete sich neben seinen Vorlesungen insgeheim in die Thematik ein und erwartete, dass der Beweisversuch schon 10 Jahre dauern könnte (auch Angst, Ruhm verlieren zu können; 1, S. 241). Er veröffentlichte immer wieder unverfängliche Teilarbeiten. Er versucht die Methode der Induktion auf Basis der E- und M-Reihen mit Hilfe der Galois-Theorie einzusetzen. 10.4 Yoichi Miyaoka Yoichi Miyaoka behauptete 1988, die Fermat-Vermutung mit Hilfe der Differentialgeometrie bewiesen zu haben. Schlagzeilen erschienen in Washington Post und New York Times, was Wiles großen Schreck versetzte (1, S. 265). Gerd Faltings, ein bedeutender junger deutscher Mathematikprofessor ( 28.7.1955), fand eine Lücke im Beweis, die nicht geschlossen werden konnte. 10.5 Kolywagin-Flach Wiles erfuhr von einem neuentwickelten Verfahren von Kolywagin-Flach, das er nun einsetzen wollte. Da er damit nicht so vertraut war, weihte er seinen Kolegen Nick Katz ein. Zur Überprüfung der bisherigen Ergebnisse setzten sie eine unverfänglich klingende Vorlesungsreihe zu „Berechnungen zu elliptischen Kurven“ an. Nach einigen Wochen war Katz der einzige Hörer der „langweiligen“ und technischen Vorlesung. Nach sieben Jahren hartnäckiger Arbeit hatte Wiles im Mai 1993 endlich einen Beweis der Taniyama-Shimura-(Weil-)Vermutung gefunden. 10.6 „Der Vortrag des Jahrhunderts“ Auf einer Konferenz in seiner Heimatstadt Cambridge (Organisator war sein Doktorvater John Coates) stellte Wiles in drei Vorträgen seinen Beweis vor (ohne dies vorher anzukündigen). Gerüchte waren im Umlauf. Beim zweiten Vortrag bereits mehr Zuhörer, beim dritten war „die gesamte Mathematikergemeinde von Cambridge“ versammelt, als Wiles die Fermat-Vermutung bewies. 11 Schlagzeilen Die Vorträge schlugen Wellen, Schlagzeilen auf den Titelseiten (Le Monde, The New York Times, Guardian, ...). Fernsehteams wollten Interviews mit dem „größten Mathematiker des Jahrhunderts“. 12 Veröffentlichung Wiles reichte sein Manuskript bei der Zeitschrift Inventiones Mathematicae ein (wurde auch von Wolfskehlpreis verlangt). Ausnahmsweise anstelle von zwei sechs Gutachter. Der 200seitige Beweis wurde in sechs Abschnitte unterteilt (jeweils anderer Gutachter). Reger Gedankenaustausch und Klärung zwischen Gutachtern und Wiles. Gutachter Katz findet eine leicht zu übersehende Lücke! (1, S. 289). Wiles versucht diese lange vergeblich zu schließen, die Fachwelt, die davon nichts weiß, wird ungeduldig. Veröffentlichung lässt auf sich warten. Gerüchte entstehen. Wiles vertröstet in E-Mail die Fachwelt nach 6 Monaten (1, S. 295). Trotz Druck gibt er Manuskript nicht frei (Ruhm für den nächsten?). 13 Richard Taylor Wiles ist nahe daran, aufzugeben. Er zieht Richard Taylor, einen Cambridge-Dozenten und Spezialisten für Kolywagin-Flach-Methode (einer der Gutachter und ehemaliger Student von Wiles) zur Lösung hinzu. E-Mail, dass ein Gegenbeispiel zur Fermat-Vermutung gefunden worden ist (3.4.94) – Aprilscherz (1, S. 302). Beide sind nach 8 Monaten noch nicht viel weiter, Wiles will aufgeben, Taylor noch einen Monat suchen. Am 19. September gelingt Wiles der letzte Durchbruch. Veröffentlichung des Beweises in zwei Manuskripten: Wiles, Modulare elliptische Kurven und Fermats letzter Satz, sowie Taylor/Wiles, Ringtheoretische Eigenschaften bestimmter Hecke-Algebren (zusammen nur noch 130 Seiten) in Annals of Mathematics, Mai 1995. 14 Verleihung des Wolfskehlpreises Am 27. Juni 1997 wird Wiles der Wolfskehlpreis offiziell überreicht (90 Jahre nach der Auslobung!). 15 Fields-Medaille Alfred Nobel soll verfügt haben, dass für die Mathematik kein Nobelpreis verliehen werden darf. Auf diese Weise wollte er sich an Mittag-Leffler, dem Liebhaber seiner Frau, rächen, der damals wahrscheinlich ausgezeichnet worden wäre (3, S. 117). Alle vier Jahre werden vier Fields-Medaillen („Nobelpreis der Mathematik“) an herausragende Mathematiker unter 40 Jahren verliehen. Gerd Faltings ist einer der Preisträger (Beweis der Mordellschen Vermutung), 1986. Wiles war beim endgültigen Beweis bereits über 40. Daher bekam er stattdessen am 18.8.1998 die „IMU silver plaque“ der Internationalen MathematischenUnion in Berlin als „Special Tribute“ überreicht. 16 Weitere ungelöste Probleme Goldbachsche Vermutung (6): Jede gerade Zahl größer als zwei lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben. Sind alle vollkommenen Zahlen gerade? Gibt es unendlich viele vollkommene Zahlen? Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge? ... 17 Literaturhinweise 1. Simon Singh, „Fermats letzter Satz, Hanser Verlag, 1998 (Original: Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate London, 1997) (2000 auch als Taschenbuch im DTV für DM19,50 erschienen, ISBN: 342333052X) 2. Chiu Chang Suan Shu, „Neun Bücher arithmetischer Technik“, Viehweg, 1968 (Basis Ausgabe Shanghai 1930, nach der kommentierten Ausgabe von Liu Hui, Mitte 3. Jhd, Ursprung spätestens 200 v. Ch.) 3. John Allen Paulos, „Von Algebra bis Zufall“, Campus Verlag 1992 4. Heinrich Tietze, „Mathematische Probleme“, Beck’sch Verlagsbuchhandlung, 1964 (insbesondere 13. Vorlesung, Das goße Fermatsche Problem, S. 104-133, zweiter Band) 5. Isabella Grigor’evna Basmakova, „Diophant und diophantische Gleichungen“, Birkhäuser Verlag, UTB, 1974 6. Bild der Wissenschaft, 2/2001, S. 68-70, zur Goldbachschen Vermutung 7. A.O. Gelfond, „Die Auflösung von Gleichungen in ganzen Zahlen“, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1968 8. Kleine Enzyklopädie, Mathematik, VEB Verlag Enzyklopädie, 1967 9. Thomas Landauer, „Überblick über die griechische Mathematik“, April 1997, http://www.unet.univie.ac.at/~a9204810/griechischeMathematik.htm 10. WinFunktion, http://www.kepler.c.sn.schule.de/lex 11. Douglas R. Hofstadter, „Gödel, Escher, Bach ein endloses geflochtenes Band“, dtv 1991